Şans Oyunları Perspektifinden Olasılık II: Probability from Perspective of the Chance Games II

Rastlantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenen olasılık teorisi, rastlantı olaylarını belirli kurallara göre matematik disiplininde inceleyen bir bilim dalıdır. Burada, rastlantı olayından kasıt gerçekleşmesi şansa bağlı olan önceden bilinmeyen olaylardır. Burada olabildiğince yalın bir şekilde uygulamalı örneklerin şans oyunları üzerinden verilmesinin nedeni olasılık konusuna dikkat çekmektir, yoksa amaç bu oyunları oynamaya özendirmek veya teşvik emek değildir. Bunu burada özellikle ifade etmek gerekir.

Çalışma kapsamında R programlama dili ve Microsoft Office Excel kullanılarak 01.08.2020 tarihinde uygulamaya konulan yeni Şans Topu kombinasyonları ve olasılıkları hesaplanarak kazanma olasılıkları karşılaştırmalı olarak verilmiştir.

Şans Topu Eşitliği

Şans topu kazanma olasılıklarının hesaplanmasında aşağıda birbirine benzeyen eşitlikler kullanılmıştır. Eşitlik aynı zamanda kesikli olasılık dağılımlarından Hipergeometrik Olasılık Dağılımı (Hypergeometric Probability Distribution) olarak adlandırılmaktadır.

  • Şans topunda olasılık hesaplamalarına esas iki örneklem uzayı bulunmaktadır. Birinci örneklem uzayımız x, ikinci örneklem uzayımız y olsun. Bunun nedeni Şans Topu oyunu kuponunda alt ve üst kolonlardan oluşan iki farklı örneklem uzayının bulunmasıdır. Birinci örneklem uzayımız dediğimiz x örneklem uzayı 1’den 34’de kadar (bu sayı dahil) sayılardan oluşmakta iken ikinci örneklem uzayımız dediğimiz y örneklem uzayı 1’den 14’e kadar (bu sayı dahil) olan sayılardan oluşmaktadır. Diğer bir ifadeyle örneklem uzayı x ∈ {1,2,3,4,5,…………….,34} iken örneklem uzayı y ∈ {1,2,3,4,5,…………….,14}.
  • k, x örneklem uzayında 34 sayı içerisinden çekilecek top sayısını göstermekte olup, hesaplamalarda 5 olarak alınmıştır. Bunun nedeni x örneklem uzayından 5 top çekilmiş olmasıdır. Diğer taraftan k, y örneklem uzayında 14 sayı içerisinden çekilecek top sayısını göstermekte olup, hesaplamalarda 1 olarak alınmıştır.
  • b, eşleşen top sayısını göstermektedir. Kombinasyonda hangi kazanma olasılıklarını hesaplayacaksanız b yerine onu yazmalısınız.

x örneklem uzayına göre olasılıkların hesaplanmasında kullanılan eşitlik aşağıda verilmiştir.

y örneklem uzayına göre olasılıkların hesaplanmasında kullanılan eşitlik aşağıda verilmiştir.

Her iki örneklem uzayına göre toplam olasılıkların hesaplanmasında kullanılan eşitlik ise bağımsız çarpma kuralına göre aşağıdaki gibi olacaktır.

Eşitlik üzerinde görülebilmesi açısından Şans Topu’nda 5+1 kazanma olasılığını eşitlik üzerinde göstererek hesaplayalım. İlk olarak aşağıdaki eşitlikte x örneklem uzayına göre 5’li kombinasyon olasılığını hesaplayalım.

Daha sonra aşağıdaki eşitlikte y örneklem uzayına göre 1 sayının eşleşme olasılığını hesaplayalım.

Son olarak ise aşağıda bağımsız çarpım kuralına göre x ve y örneklem uzayına göre hesaplanan olasılıkların çarpımını alarak Şans Topu’nda toplam 5+1 kazanma olasılığını hesaplayalım. Buradan 5+1 kazanma olasılığının 3 milyon 895 bin 584’de 1 olduğu anlaşılmaktadır.

R Uygulama Örneği

İlk olarak yüklenecek bir kaç R kütüphanesini aşağıda verelim.

kütüphaneler = c("dplyr","tibble","tidyr","formattable")

sapply(kütüphaneler, require, character.only = TRUE)

Şans topu kazanma olasılıkları

Şans topu ikramiye kazanma olasılıkları 04.08.2020 tarihinden itibaren 9 kategoride düzenlenmiştir. Bu kategoriler sırasıyla şöyledir:

  1. 5+1: Burada yukarıda belirtilen 34 sayıdan oluşan x örneklem uzayından seçilen 5 sayı ve 14 sayıdan oluşan y örneklem uzayından seçilen 1 sayıdan oluşan kombinasyonun eşleştiği anlamına gelir.
  2. 5: Burada yukarıda belirtilen sadece 34 sayıdan oluşan x örneklem uzayından seçilen 5 sayı kombinasyonunun eşleştiği anlamı çıkmaktadır.
  3. 4+1: Burada yukarıda belirtilen 34 sayıdan oluşan x örneklem uzayından seçilen 4 sayı ve 14 sayıdan oluşan y örneklem uzayından seçilen 1 sayıdan oluşan kombinasyonun eşleştiği anlamına gelir.
  4. 4: Burada yukarıda belirtilen sadece 34 sayıdan oluşan x örneklem uzayından seçilen 4 sayı kombinasyonunun eşleştiği anlamı çıkmaktadır.
  5. 3+1: Burada yukarıda belirtilen 34 sayıdan oluşan x örneklem uzayından seçilen 3 sayı ve 14 sayıdan oluşan y örneklem uzayından seçilen 1 sayıdan oluşan kombinasyonun eşleştiği anlamına gelir.
  6. 2+1: Burada yukarıda belirtilen 34 sayıdan oluşan x örneklem uzayından seçilen 2 sayı ve 14 sayıdan oluşan y örneklem uzayından seçilen 1 sayıdan oluşan kombinasyonun eşleştiği anlamına gelir.
  7. 3: Burada yukarıda belirtilen sadece 34 sayıdan oluşan x örneklem uzayından seçilen 4 sayı kombinasyonunun eşleştiği anlamı çıkmaktadır.
  8. 1+1: Burada yukarıda belirtilen 34 sayıdan oluşan x örneklem uzayından seçilen 1 sayı ve 14 sayıdan oluşan y örneklem uzayından seçilen 1 sayıdan oluşan kombinasyonun eşleştiği anlamına gelir.
  9. 0+1: Burada yukarıda belirtilen sadece 14 sayıdan oluşan y örneklem uzayından seçilen 1 sayının eşleştiği anlamı çıkmaktadır.

Yukarıda bahsedilen kazanma kategorileri örneklem uzayları ile birlikte aşağıdaki tabloda gösterelim.

Burada esasında olasılık teorisindeki hipergeometrik olasılık dağılımı kullanılarak 9 kategoriden oluşan ikramiye kazanma olasılıklarını hesaplayacağız. Bu amaçla adım adım ve yalın bir şekilde yazılan R kod bloğuna aşağıda yer verilmiştir. R’da choose () fonksiyonu kombinasyon hesaplamalarında kullanılmaktadır. Aşağıdaki R kod bloğunda kazanma kategorilerine göre x veya y örneklem uzayından eğer eleman seçilme şansı yoksa yani 0 ise bu örneklem uzayına göre olasılık hesaplanmasına gerek yoktur. Ancak yine de 0 seçim olduğunda (seçim olmadığında) nasıl eşitlik üzerinde görüleceğini görebilmeniz açısından hesapladım.

#5+1 kazanma olasılığı
x1<-choose(34, 5)/(choose(5, 5)*choose(29, 0))#x örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
y1<-choose(14, 1)/(choose(1, 1)*choose(13, 0))#y örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
besartibir<-x1*y1#toplam kombinasyonları hesaplama
besartibir

#5 kazanma olasılığı
x1<-choose(34, 5)/(choose(5, 5)*choose(29, 0))#x örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
y1<-choose(14, 0)/(choose(0, 0)*choose(14, 0))#y örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
bes<-x1*y1#toplam kombinasyonları hesaplama
bes

#4+1 kazanma olasılığı
x1<-choose(34, 5)/(choose(5, 4)*choose(29, 1))#x örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
y1<-choose(14, 1)/(choose(1, 1)*choose(13, 0))#y örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
dortartibir<-x1*y1#toplam kombinasyonları hesaplama
dortartibir

#4 kazanma olasılığı

x1<-choose(34, 5)/(choose(5, 4)*choose(29, 1))#x örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
y1<-choose(14, 0)/(choose(0, 0)*choose(14, 0))#y örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
dort<-x1*y1#toplam kombinasyonları hesaplama
dort

#3+1 kazanma olasılığı
x1<-choose(34, 5)/(choose(5, 3)*choose(29, 2))#x örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
y1<-choose(14, 1)/(choose(1, 1)*choose(13, 0))#y örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
ucartibir<-x1*y1#toplam kombinasyonları hesaplama
ucartibir

#2+1 kazanma olasılığı
x1<-choose(34, 5)/(choose(5, 2)*choose(29, 3))#x örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
y1<-choose(14, 1)/(choose(1, 1)*choose(13, 0))#y örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
ikiartibir<-x1*y1#toplam kombinasyonları hesaplama
ikiartibir


#3 kazanma olasılığı
x1<-choose(34, 5)/(choose(5, 3)*choose(29, 2))#x örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
y1<-choose(14, 0)/(choose(0, 0)*choose(14, 0))#y örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
uc<-x1*y1#toplam kombinasyonları hesaplama
uc

#1+1 kazanma olasılığı
x1<-choose(34, 5)/(choose(5, 1)*choose(29, 4))#x örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
y1<-choose(14, 1)/(choose(1, 1)*choose(13, 0))#y örneklem uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
birartibir<-x1*y1#toplam kombinasyonları hesaplama
birartibir


#0+1 kazanma olasılığı
x1<-choose(34, 0)/(choose(0, 0)*choose(29, 0))#x örnekleme uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
y1<-choose(14, 1)/(choose(1, 1)*choose(13, 0))#y örnekleme uzayındaki kombinasyon sayısını hesaplama
sifirartibir<-x1*y1#toplam kombinasyonları hesaplama
sifirartibir

#sonuçların vektör ortamına taşınması

options(scipen=999)#sonuçların bilimsel notasyondan kurtulması
kategori<-c("5+1", "5", "4+1", "4", "3+1", "3", "2+1","1+1","0+1")#kazanma kategorilerinin vektöre alınması

olasilik<-c(besartibir, bes, dortartibir, dort, ucartibir, uc, ikiartibir,birartibir, sifirartibir)#hesaplanan yukarıdaki olasıkların vektöre taşınması

#Kazanma olasılıklarının tabloya alınması
tibble("Kazanma Kategorileri"=kategori, "Kazanma Olasılıkları"=olasilik) %>% mutate_if(is.numeric, round, 2) %>% formattable()

Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra elde edilen Şans Topu ikramiye kazanma olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra elde edilen sayısal loto ikramiye olasılıkları kombinasyonlara göre aşağıdaki tabloda verilmiştir. Ortaya konulan bulgulara göre;

  1. 5+1 bilme şansınız 3.895.584’te 1’dir.
  2. 5 bilme şansınız 278.256’da 1’dir.
  3. 4+1 bilme şansınız 26.866,10’da 1’dir.
  4. 4 bilme şansınız 1919’da 1’dir.
  5. 3+1 bilme şansınız 959,50’da 1’dir.
  6. 3 bilme şansınız 68,54’te 1’dir.
  7. 2+1 bilme şansınız 106,61’de 1’dir.
  8. 1+1 bilme şansınız 32,80’de 1’dir.
  9. 0+1 bilme şansınız 14’te 1’dir.

Microsoft Office Excel Uygulama Örneği

R programlama bilmeyenlerin için de aynı uygulamalar Microsoft Office Excel ortamında yapılarak daha kalıcı olması amaçlanmıştır. Excel’de kombinasyon hesaplamaları =KOMBİNASYON() fonksiyonu ile yapılmıştır. Şans Topu örneği üzerinden giderek 5+1 ikramiye kazanma olasılığı excelde aşağıda formül kombinasyonları ile hesaplanmıştır. Burada yapılan tek şey yukarıda verilen eşitliklerin excele taşınmasıdır.

  • x örneklem uzayı (1,2,3…,34)’ndan 5’li kombinasyonu kazanma olasılığı aşağıdaki fonksiyon aracılığıyla hesaplanmıştır

=KOMBİNASYON(34;5)/(KOMBİNASYON(5;5)*KOMBİNASYON(34-5;5-5))

  • y örneklem uzayı (1,2,3…,14)’ndan 1’in kazanma olasılığı aşağıdaki fonksiyon aracılığıyla hesaplanmıştır. =KOMBİNASYON(14;1)/(KOMBİNASYON(1;1)*KOMBİNASYON(14-1;1-1))
  • Daha sonra x ve y örneklem uzaylarına göre hesaplanan olasılıklar bağımsız çarpım kuralına göre çarpılarak kazanma kategorilerine göre toplam olasılık değerleri hesaplanmış olur.

Yukarıda bahsedilen fonksiyonlarının da içerisinde yer aldığı Microsoft Office Excel üzerinde yaptığım uygulama sonuçlarını gösterir tablo aşağıda verilmiştir.

Excel üzerinde yaptığım bu uygulamaları kullanılan fonksiyonları da görebilmeniz adına aşağıda xlsx uzantılı olarak paylaşıyorum.

Özetle R’da ve Microsoft Excel’de yapılan bu özgün çalışmayla olasılık teorisinde yer alan kombinasyon fonksiyonları kullanılarak şans oyunları özelinde olasılık teorisine dikkat çekilmeye çalışılmıştır.

Faydalı olması ve farkındalık oluşturması dileğiyle.

Bilimle ve teknolojiyle kalınız.

Saygılarımla.

Not: Kaynak gösterilmeden alıntı yapılamaz veya kopyalanamaz.

Note: It can not be cited or copied without referencing.

Yararlanılan Kaynaklar

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Google fotoğrafı

Google hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Connecting to %s